如何使用Python和NumPy求解圆上一点到直线的最短距离？

Python和NumPy求解圆上一点到直线最小距离

本文探讨如何利用Python和NumPy库计算三维空间中圆上一点到直线的最小距离，并给出该点的坐标。 我们将处理圆与直线不共面的情况。

问题描述

已知圆心 o = (0.3501, -0.0881, -4.8466)，圆的法向量 n = (0.4163, -0.8326, -0.3653)，圆的半径 r = 1.34954，以及直线上的两点 a = (3.1932, -0.9005, 0.8082) 和 b = (1.9885, -0.9691, -0.8353)。 目标是找到圆上一点 p，使其到直线 ab 的距离最小，并计算 p 的坐标。

算法原理

由于圆与直线可能不共面，最小距离并非圆心到直线的垂线距离。我们需要：

1. 计算直线的方向向量: 通过 b - a 得到。
2. 计算直线的方向向量: 将其标准化，得到单位方向向量。
3. 计算圆心到直线的距离向量: 找到圆心到直线上一点的向量，并投影到直线的方向向量上，从而得到圆心到直线的距离。
4. 计算圆心到直线垂足的向量: 利用步骤3的结果，计算圆心到直线垂足的向量。
5. 计算圆心到直线垂足的向量在垂直于直线的平面上的投影: 这个投影向量指向圆上距离直线最近的点。
6. 计算圆上最近点: 将投影向量标准化，乘以圆的半径，然后加到直线垂足上，得到圆上最近点的坐标。

Python代码实现

import numpy as np

# 输入数据
o = np.array([0.3501, -0.0881, -4.8466])
n = np.array([0.4163, -0.8326, -0.3653])
r = 1.34954
a = np.array([3.1932, -0.9005, 0.8082])
b = np.array([1.9885, -0.9691, -0.8353])

# 计算直线方向向量
v = b - a
v = v / np.linalg.norm(v)  # 标准化

# 计算圆心到直线一点的向量
oa = o - a

# 计算圆心到直线的距离
d = np.dot(oa, v)

# 计算直线垂足
f = a + d * v

# 计算圆心到垂足的向量
of = o - f

# 计算投影到垂直于直线的平面上的向量
proj = of - np.dot(of, v) * v

# 计算圆上最近点
p = f + r * proj / np.linalg.norm(proj)

print("圆上距离直线最近的点的坐标为:", p)

代码解释

代码清晰地实现了上述算法步骤。 numpy 库提供了高效的向量运算，简化了计算过程。 最终输出结果为圆上一点 p 的坐标，该点到直线 ab 的距离最小。

这个改进后的版本更加简洁高效，并对算法步骤进行了更清晰的解释。